УДК 674.142.2.03
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Шеховцов А. В.
Введение
Характерными чертами нашего времени являются сложность, развитие и изменения. Усилия в создании энергетических установок большой мощности и быстродействующих систем управления, разработке новых материалов, убыстрении транспортных средств и развитии глобальной системы связи вовлекли нас в условия взаимозависимости материалов, оборудования и человека, которые существовали ранее на более или менее совершенно независимой основе, если в действительности они вообще существовали. Связанная с этим потребность в понимании и приведении в терпимое взаимодействие кажущихся не связанными человека и машины вызвала прогрессирующее дробление и дифференциацию наук и специализаций.
В работе представлен подход, основанный на понятии эквивалентного комплексного коэффициента усиления, который может быть использован для анализа влияния нелинейности в сложных или простых системах регулирования. Эффективность этого подхода не ограничивается числом элементов, накапливающих энергию, и этот подход дополняет нормальные процедуры, используемые при анализе и синтезе линейных систем. В этом смысле он представляет собой мощный инженерный метод.
В случае линейных систем регулирования на вопрос об устойчивости конкретной системы всегда имеется определенный ответ, зависящий только от значений параметров системы [1]. Использование критериев Рауса и Найквиста, метода корневого годографа или знание запаса по фазе позволяет судить об устойчивости системы. С помощью этих методов можно определить, приведет ли приложение к системе, находящейся в начальный момент в состоянии покоя, управляющего сигнала или возмущения произвольной величины при условии, что линейность системы не нарушается, к затухающему переходному процессу при отключении внешнего воздействия для устойчивой системы или к возрастанию выходной величины, монотонному или колебательному — для неустойчивой системы.
Для нелинейных систем регулирования устойчивость систем зависит не только от их параметров, но также от величины входного или возмущающего воздействия. Более того, система может иметь ряд различных видов реакций при отключении входного или возмущающего воздействия. Может иметь место устойчивый режим или неустойчивый режим в смысле соответствующего режима линейной системы. Поскольку для ряда условий нелинейного режима работы отклонение параметров системы от их линейных значений может быть мало или имеет место лишь при чрезвычайно больших значениях входных величин, система с точки зрения устойчивости иногда может рассматриваться как линейная.
Постановка задачи
Незатухающие колебания постоянной амплитуды, оцениваемой как большая или малая в зависимости от требуемой точности регулирования представляют собой другой тип реакций, который может иметь место при приложении возмущений к системе регулирования [2]. Рассмотрим типичные переходные процессы в нелинейных системах с малой и большой амплитудами незатухающих колебаний соответственно. Амплитуды незатухающих колебаний могут рассматриваться как большие или малые в зависимости от того, можно ли пренебречь влиянием этих незатухающих колебаний. Надо отметить, что при оценке допустимости колебаний следует учитывать не только амплитуду колебаний, но также влияние колебаний на такие факторы, как перегрев оборудования или уменьшение срока службы из-за чрезмерного износа. Короче говоря, если незатухающие колебания достаточно малы, чтобы их можно было считать допустимыми, то система рассматривается как устойчивая. Если незатухающие колебания настолько велики, что не могут считаться допустимыми, то говорят, что система неустойчива.
В связи с устойчивостью нелинейных систем представляет интерес отметить тот факт, что амплитуда входного сигнала или возмущение может определить характер переходного процесса в системе. Для малых входных сигналов система может быть устойчива в линейном смысле, для больших входных сигналов в этой же системе могут существовать незатухающие колебания с фиксированной амплитудой и, наконец, для еще больших входных сигналов система может оказаться неустойчивой в линейном смысле. Таким образом, прежде чем определить устойчивость нелинейной системы автоматического регулирования, необходимо определить диапазон величин, характеризующих условия, в которых эта система будет работать.
Анализ задачи
Основные методы, применяемые для определения устойчивости нелинейных систем регулирования, опираются на понятие эквивалентного комплексного коэффициента усиления и используют критерий Найквиста для нахождения условий устойчивости. Фундамент для анализа устойчивости заложили Кохенбургер и Джонсон, и разработанные ими методы используются нами в дальнейшем. Несмотря на то, что методы исследования устойчивости по Ляпунову в настоящее время привлекают все большее внимание, они в основном применимы к системам с небольшим количеством элементов, накапливающих энергию, и их использование в задачах с большим числом таких элементов весьма ограничено.
В качестве примера анализа устойчивости системы в нелинейном режиме работы рассмотрим несложную систему регулирования с непосредственной обратной связью. Элементы системы, описываемые передаточными функциями G() и G2(), линейны и их передаточные функции зависят от частоты , а не от амплитуды а сигналов на их входах. Произведение этих двух передаточных функций равно:
G () = G() G() (1)
Хотя объединение двух линейных элементов в один предполагает, что расположение нелинейности в системе регулирования не имеет особого значения, это, как будет показано далее, справедливо лишь в первом приближении.
Элемент, описываемый передаточной функцией G'(а), является нелинейным; абсолютное значение и фаза его эквивалентного комплексного коэффициента усиления не зависят от частоты синусоидального сигнала, подаваемого на его вход, однако они зависят от амплитуды входного сигнала.
При применении обычного линейного подхода к задаче исследования устойчивости отношение С/R может быть выражено через передаточные функции и эквивалентный комплексный коэффициент усиления следующим образом:
(2)
Условие, при котором происходит нарастание колебаний и имеет место неустойчивость в линейном смысле, заключается в равенстве нулю знаменателя выражения (2):
(3)
Переписывая уравнение (3) следующим образом:
G() = - (4)
можно получить соотношение между передаточной функцией G() и эквивалентным комплексным коэффициентом усиления , при котором в системе существуют колебания нарастающей амплитуды. В связи с тем, что возрастание амплитуды колебаний изменяет значение G'(а), соотношение, определяемое формулой (4), справедливо лишь для какой-либо определенной амплитуды и частоты колебаний. При таких условиях могут поддерживаться незатухающие колебания данной амплитуды и частоты.
Вычисленные амплитуда и частота незатухающих колебаний могут несколько отличаться от значений, полученных экспериментально. Следовательно, этот метод может рассматриваться как неплохое качественное приближение к реальным характеристикам. Амплитуда характеризует порядок величин амплитуд, при которых достигается граница устойчивости. При правильном проектировании должен выбираться подходящий коэффициент безопасности, обеспечивающий удовлетворительные характеристики системы и позволяющий избежать незатухающих колебаний.
Для иллюстрации подхода, использующего представление системы на комплексной плоскости, рассмотрим условно устойчивую позиционную систему регулирования, содержащую усилитель с насыщением, при различных значениях амплитуды входного сигнала. Такой тип системы может встретиться при обычном позиционном регулировании, когда в качестве устройства, измеряющего ошибку, или в качестве усилителя сигнала ошибки используется усилитель с характеристикой насыщения, позволяющая определить эквивалентный комплексный коэффициент усиления этого элемента.Далее для упрощения коэффициент усиления К, связанный, вообще говоря, с , будет считаться относящимся к передаточной функции . Тогда для этого случая можно считать, что и эквивалентны. Представим на комплексной плоскости годограф как функцию частоты и годографы и —1/ как функции величины a, или иначе, отношения входных сигналов . Для введения в систему возмущения или задающего воздействия предположим, что задающее воздействие в начальный момент времени имеет вид скачка.
Начальная ошибка, вызванная этим скачком, является входным воздействием усилителя с насыщением и может считаться соответствующей максимальному значению входного сигнала . Для малых значений система не находится в насыщении, а = 1,0 и имеет место обычный устойчивый режим работы условно устойчивой линейной системы. Точка (—1, +0) не охвачена кривой и, кроме того, нигде не имеет место равенство
.
Для больших величин задающего воздействия, таких, что, но значение находится на отрицательной действительной полуоси, но ни при каких значениях или а не выполняется равенство . Следовательно, система устойчива; регулируемая величина С при подаче на вход задающего воздействия большой величины будет вначале колебаться, но затем установится устойчивый линейный режим, соответствующий значению а=1,0. Процесс является сходящимся, поскольку при система устойчива, и поэтому значение регулируемой величины с каждым колебанием все более приближается к значению задающего воздействия. В связи с этим сигнал на входе элемента с насыщением уменьшается, в результате чего величина а увеличивается и степень устойчивости системы растет.
При несколько больших значениях входного воздействия имеет место неравенство и выполняется условие .
Из уравнения (4) видно, что это равенство является условием неустойчивости, так что амплитуда регулируемой величины будет стремиться увеличиваться дальше, приводя к дальнейшему уменьшению величины а. При значениях годограф охватывает значения - и условия неустойчивости продолжают выполняться. При этом амплитуды продолжают возрастать. И, наконец, когда достигает таких значений, что , амплитуда колебаний становится постоянной. Любое дальнейшее увеличение амплитуды колебаний приводит к такому изменению величины — , что годограф перестает ее охватывать.
Это приводит к более устойчивому режиму работы, т. е. к уменьшению амплитуды регулируемой величины и соответственно , до тех пор, пока не достигается выполнение равенства .Любое дальнейшее уменьшение величины приводит к увеличению больших значений а, соответствующих и годограф вновь начинает охватывать величину . Это вновь приводит к возникновению неустойчивости, вызывающей возрастание амплитуды колебаний и приводящей систему в режим незатухающих колебаний постоянной амплитуды, соответствующей значению и постоянной частоты . Таким образом, пересечение и определяет точку, в которой существуют устойчивые незатухающие колебания постоянных амплитуды и частоты — так называемый устойчивый предельный цикл. При еще больших значениях задающего воздействия , точка — лежит слева от годографа и не охватывается им. Вначале, до тех пор пока отклонение регулируемой величины от задающего воздействия не достигнет значения , система устойчива, однако при достижении этого значения, в системе устанавливаются и поддерживаются незатухающие колебания с такой амплитудой. В этом случае система приближается к устойчивому предельному циклу со стороны начальных возмущений большей амплитуды, чем амплитуда незатухающих колебаний.
В следующем примере показано, как незатухающие колебания могут возникнуть при начальных рассогласованиях, больших или меньших, чем амплитуда установившихся колебаний. Следует отметить, что точка характеризует неустойчивый предельный цикл в том смысле, что при система устойчива, а при система неустойчива.
Выводы
Таким образом, точка неустойчивого равновесия характеризует собой нижний предел амплитуд входных сигналов, ниже которых установившиеся колебания не возникают и выше которых возникают колебания с амплитудой, нарастающей до тех пор, пока не достигается точка устойчивого равновесия.
Для иллюстрации того, как описанный здесь подход, использующий понятие эквивалентного комплексного коэффициента усиления, может быть применен на практике, рассмотрим работу условно устойчивой позиционной системы регулирования, содержащей предварительный усилитель с насыщением, входным сигналом которой является скачкообразное воздействие.
Увеличение входных сигналов, приводящее к уменьшению не влечет за собой заметного увеличения времени переходного процесса. Однако при дальнейшем значительном увеличении амплитуды входного сигнала переходный процесс принимает вид колебаний с увеличивающейся амплитудой, так что достигает значения, меньшего, чем . При достаточном времени амплитуда, несомненно, достигнет значения, соответствующего и в системе установятся незатухающие колебания. Это явление незатухающих колебаний большой амплитуды наблюдалось ранее в позиционных системах регулирования с большим коэффициентом усиления, обладающих насыщением, однако аналитическое объяснение этому было найдено значительно позже. Подход, использующий понятие эквивалентного комплексного коэффициента усиления, дает способ аналитического нахождения ответа на вопрос об устойчивости довольно простых, но важных нелинейных систем автоматического регулирования.
The application of automatic control as means of improvement of the characteristics of system is the important method of increase of value of system. Basic of these advantages are increase of accuracy of performance by system of her task and increase of speed of system, reduction of time of reaction of system. However such systems can become more unstable or oscillatory. In this connection in given clause some questions connected to accuracy, quality of transients and stability of system. |
1. Ямпольский Л. С., Полищук М. Н. Оптимизация технологических процессов в гибких производственных системах. – К.: Техника, 1988. – 175 с.
2. Graham and McRuer D., Analysis of non-linear control systems, New York, Wiley, 1981.
Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]
Читайте также
Моделирование объектов и систем управления
Соколов А.Е., Махова Е.О. Моделирование процесса принятия педагогического решения при компьютеризированном обученииСлавко О.Г. Порівняльний аналіз керування регулятором на основі локальної моделі керованого процесу та П-регулятором
Войтенко В.В., Дикусар Е.В, Ситников В.С. Определение частоты среза устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего
Передерій В.І. Алгоритм визначення та оцінки характеристик ефективності комп’ютерних систем на початковій стадії проектування в умовах невизначенності
Ляшенко С.А, Ляшенко А.С. Оценка модели псевдолинейной регрессии
Ладієва Л.Р. Математична модель процесу газової мембранної дистиляції
Носов П.С., Косенко Ю.І. Нечіткі моделі і методи ідентифікації та прогнозу стану інформаційної моделі студента
Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы синхронного двигателя с неявнополюсным ротором по данным каталога
Дорошкевич В.К., Пироженко А.В., Хитько А.В., Хорольский П.Г. К определению требований к системам увода космических объектов
Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи керування за імпульсною характеристикою об’єкта
Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах
Шейник С.П., Рудакова А.В. Использование функций принадлежности для моделирования параметров распределенных объектов
Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля
Селяков Е. Б. Моделирование требований к техническим системам методами математической логики
Тодорцев Ю.К., Ларіонова О.С., Бундюк А.М. Математична модель контура теплопостачання когенераційної енергетичної установки
Кириллов О.Л. , Якимчук Г.С. Моделирование процесса управления системой перегрузки углеводородных жидких топлив
Шеховцов А.Н., Козел В.Н. Построение математической модели формирования распределенных систем
Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ поведения генератора постоянного тока по данным каталога
Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів
Хобин В.А., Титлова О.А. Определение температуры парожидкостной смеси в дефлегматоре АДХМ по результатам измерений температуры его поверхности
Григорова Т.М., Усов А.В. Вероятностно-статистическое моделирование маршрутизированных пассажиропотоков в крупных городах
Горач О.О., Тернова Т.І. Моделювання технологічного процесу одержання трести при використані штучного зволоження з урахуванням складу мікрофлори
Дубік Р.М., Ладієва Л.Р. Математична модель розділення неоднорідних рідких систем
Казак В.М, Лейва Каналес Родриго, Яковицкая Е.Ю. Моделирование динамики полета магистрального самолета на исследовательском стенде
Завальнюк И.П. Исследование процесса торможения автомобиля как критического режима динамической системы
Дмитриев С.А., Попов А.В. Построение портрета неисправностей проточной части газотурбинного двигателя на примере АИ-25
Русанов С.А., Луняка К.В., Клюєв О.І., Глухов Г.М. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з віброкиплячим шаром та розробка систем автоматизованого моделювання гідродинаміки віброкиплячих шарів
Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей
Селін Ю.М. Використовування контекстних марківських моделей для аналізу дії промислових вибухів на будівельні конструкції
Рудакова А.В. Проблемы интеграции сложных систем
Передерій В.І., Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі
Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов
Михайловская Т.В., Михалев А.И., Гуда А.И. Исследование правил клеточных автоматов для моделирования процессов затвердевания квазиравновесных бинарных сплавов
Хомченко А.Н., Колесникова Н.В. Явление «сверхсходимости» в задаче Прандтля для уравнения Пуассона
Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы трансформатора по данным каталога
Квасницкий В.В., Ермолаев Г.В., Матвиенко М. В., Бугаенко Б.В., Квасницкий В.Ф. Оценка применимости метода компьютерного моделирования к исследованию напряженно-деформиррованного состояния цилиндрических узлов
Китаев А.И., Глухова В.И. Анализ работы асинхронного двигателя по данным каталога
Шелестов А.Ю Имитационная модель взаимодействия GRID-узлов с очередью доступа к общей памяти
Chizhenkova R.A. Mathematical Aspects of Bibliometrical Analysis of Neurophysiological Investigations of Action of Non-ionized Radiation (Medline-Internet)
Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами
Славич В.П. Модель автоматизованої системи управління потоками транспортних засобів
Маркута О.В., Мысак В.Ф. Программная реализация и исследование особенностей метода группового учета аргументов
Степанкова Г.А., Баклан І.В. Побудова гібридних моделей на основі прихованих марківських моделей та нейронних мереж
Бакшанська Т.Д., Рижиков Ю.Г., Тодорцев Ю.К. Математична модель процесу горіння природного газу з рециркуляцією продуктів згорання для цілей управління
Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона
Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами
Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности
Ковриго Ю.М., Фоменко Б.В., Полищук И.А. Математическое моделирование систем автоматического регулирования с учетом ограничений на управление в пакете Matlab
Исаев Е.А., Наговский Д.А. Математическое описание влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания жидкости в межчастичном пространстве
Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса
Тищенко И.А., Лубяный В.З. Математическое моделирование вокодера для определения оптимальной формы импульса сигнала возбуждения.
Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В. Моделирование гармонического полиномиального базиса гексагона.
Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.
Клименко А.К. Об упрощенном численном конструировании обратной модели динамического объекта.
Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Расчет погрешностей измерительных трансформаторов.
Передерій В.І.,Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі
Шпильовий Л.В. Математична модель та алгоритм екстремального управління процесом осадження дисперсної фази суспензії.
Тулученко Г.Я. Інформаційний модуль експрес-пошуку точок еквівалентності процесу нейтралізації.
Тернова Т.І. Урахування морфогенетичного рівняння в математичній моделі тканини.
Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.