УДК 681.3.07
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Сальдо В.В., Шеховцов А.В.
Введение. Очень часто для простоты предполагается, что замкнутые системы автоматического регулирования представляют собой системы с постоянными параметрами тогда их поведение может быть исследовано с помощью линейных дифференциальных уравнений на базе хорошо разработанной теории линейных следящих систем. Предположение о линейности системы справедливо лишь для весьма ограниченного класса систем регулирования [1]. Большинство систем существенно нелинейные и ни для какого момента времени в них не существует соотношения между входным и выходным сигналами, не зависящего от величины входного сигнала.
Однако нелинейность элементов системы регулирования совсем не обязательно должна вызывать тревогу, так как в ряде случаев наилучшие характеристики системы регулирования могут быть получены именно введением в систему нелинейных элементов.
Постановка задачи. Ниже излагаются различные подходы к рассмотрению нелинейных замкнутых систем регулирования, использующих методы, разработанные для линейных систем [2].
1. Линеаризация нелинейных элементов при малых отклонениях для получения передаточных функций с постоянными коэффициентами. Такая линеаризация возможна при малых отклонениях от рабочей точки, т. е. в тех случаях, когда коэффициенты могут считаться достаточно постоянными, чтобы быть относительно независимыми от амплитуды сигнала, приложенного к входу системы, хотя на самом деле при переходе из одной рабочей области в другую значения коэффициентов, конечно, меняются. Этот метод линеаризации позволяет применять линейную теорию к системам регулирования, содержащим нелинейные элементы. Он в основном используется при исследовании устойчивости систем при малых отклонениях от начала координат и, кроме того, может применяться для исследования динамики систем при ограниченных значениях задающих и возмущающих воздействий.
2. Линеаризация нелинейных элементов для получения их передаточных функций с помощью метода гармонического баланса при больших отклонениях и синусоидальных входных воздействиях. При больших отклонениях от рабочей точки передаточные характеристики являются функциями амплитуды сигнала на входе элемента, и в связи с этим для исследования отношения выход - вход необходимо применять разложение Фурье для ряда значений сигнала на входе элемента. Изменение характеристик элементов с изменением амплитуды сигнала может служить причиной возникновения незатухающих колебаний конечной амплитуды. Исследуя устойчивость таких линеаризованных систем, мы получаем в случае нелинейностей типа «зазор» и «насыщение» ответы, близкие к тем, которых мы ожидали на основании нашего практического опыта.
Часто при изучении свойств системы автоматического регулирования представляет интерес исследовать влияние малых изменений величины или величин независимых переменных на выходную величину. В особенности это важно при исследовании системы на устойчивость, когда необходимо определить, могут ли малые изменения входной величины привести к незатухающим или нарастающим колебаниям выходной величины. Несмотря на то, что характеристики нелинейных систем для малых вариаций входной величины меняются в зависимости от рабочей области, для каждого конкретного множества рабочих условий величина выходного сигнала приближенно пропорциональна входному сигналу.
Таким образом, в ограниченном смысле для каждого из конкретных условий работы реакцию системы можно положить «пропорциональной входному сигналу» и систему, следовательно, «линейной». Поскольку частота и амплитуда нормальных значений входных сигналов, для которых ищется закон управления, обеспечивающий высокую точность, часто таковы, что система находится в «линейной» зоне, важно разобраться в методе определения линеаризованных характеристик системы в любых требуемых условиях работы.
Здесь следует отметить, что при больших значениях входной величины условия «линейной» работы нарушаются и эти значения входной величины влекут за собой насыщение основных частей системы управления.
Часто при этих больших значениях входной величины происходит резкий переход из одной рабочей области в другую, и при этом точное регулирование осуществить невозможно. При плавном переходе из одной рабочей области в другую предположение о линейности системы в различных точках рабочих областей часто оказывается справедливым.
Принцип малых приращений. В качестве одного из методов линеаризации уравнений нелинейных элементов систем регулирования используется принцип малых приращений. Сначала записываются уравнения, представляющие собой общие соотношения между зависимыми и независимыми переменными. Затем переменные в этих уравнениях переписываются в виде некоторых номинальных значений переменных плюс некоторое приращение, характеризующее отклонение от этого номинального значения. Тогда графические или другие функциональные зависимости между переменными записываются в виде отклонений от номинальных значений, соответствующих номинальным рабочим условиям. И, наконец, в результате получается уравнение или система уравнений, отражающие соотношения, существующие между величинами приращений зависимых и независимых переменных.
Анализ задачи. В качестве примера рассмотрим вольтамперную характеристику. Здесь напряжение представляет собой независимую переменную, которая вызывает ток, служащий показателем отклонения напряжения от V. Следовательно,
I= f (V), (1)
где I - выходной ток,
V- входное напряжение.
Рассмотрим работу в области напряжения V, которому соответствует ток I. При этом можно записать:
I=I+ ΔI, (2)
V=V + ΔV, (3)
где ΔI и ΔV представляют собой соответственно приращения величины I и V.
Подставив эти выражения в уравнение (1), получим:
I+ ΔI = ƒ(V + ΔV) (4)
Разложим уравнение (4) в ряд Тейлора в области точки (I,V):
I + ΔI = ƒ(V) + (5)
При номинальных рабочих значениях I и V уравнение (1) может быть переписано в виде:
I = f (V) (6)
что, будучи подставлено в уравнение (5), даст:
ΔI = (7)
Уравнение (7) указывает на линейную зависимость между приращением тока ΔI и приращением напряжения ΔV в области V = V.
Другой иллюстрацией использования принципа малых приращений является часто встречающийся случай, когда регулируемая величина представляет собой произведение двух других регулируемых величин.
Рассмотрим в качестве примера электромагнитный вращающий момент Т, равный произведению потока Ф и тока I. Таким образом,
T = KФI (8)
Записав каждую переменную в виде суммы номинального значения и приращения, получим:
T+ ΔT = K[Ф + ΔФ][I + ΔT] (9)
или
T + ΔT = KФI + KФΔI + KIΔФ, (10)
так как членом второго порядка малости KΔIΔФ можно пренебречь.
Поскольку Т = КФI, уравнение для приращения момента, выраженного через приращения потока и тока, может быть записано следующим образом:
ΔT = KФΔI + KIΔФ, (11)
Принцип малых приращений часто используется при анализе многочисленных элементов реальных систем регулирования. Характеристики элементов, используемых в системах регулирования тепловых процессов, химических процессов, аэродинамических процессов, а также электрического и электронного оборудования, часто записываются в виде передаточных функций для малых приращений.
Линеаризация нелинейных элементов при больших отклонениях. В этом пункте рассматриваются такие системы регулирования, в которых величина входного сигнала влияет на форму переходного процесса в системе. Подход к решению такой проблемы заключается в том, что мы делаем некоторое предположение о диапазоне величин амплитуд сигналов на входе элемента или элементов, обладающих характеристикой, зависящей от амплитуды, затем определяем «эффективные» линейные характеристики этого элемента или элементов и, наконец, определяем частотную или переходную характеристику этой «эквивалентной» линейной системы. В зависимости от характера «линейной» характеристики при одной амплитуде сигнала можно определить, каким образом будет меняться амплитуда сигнала и, следовательно, каким будет новое значение эквивалентной «линейной» характеристики. Следуя этой процедуре итеративным образом, можно приблизиться к установившемуся состоянию, в котором амплитуда сигнала в элементе и величина сигнала, возвращающегося к этому элементу, согласованы. Это установившееся состояние может представлять собой устойчивую работу в смысле устойчивой линейной системы или состояние устойчивых автоколебаний конечной амплитуды, что является характерным для нелинейных систем.
Эквивалентный комплексный коэффициент усиления для синусоидальных входных сигналов. Основное предположение, которое делается при изучении нелинейных систем автоматического регулирования, содержащих элементы, испытывающие большие отклонения от линейного режима, заключается в том, что если сигнал на входе нелинейного элемента синусоидальный и постоянный по амплитуде, то сигнал на выходе также периодический и той же частоты, что и сигнал на входе. Несмотря на то, что выходной сигнал может содержать некоторое число высших гармоник частоты входного сигнала, предполагается, что частота основной составляющей выходною сигнала та же, что и частота входного сигнала. При этом основная составляющая выходного сигнала связана с входным сигналом через усиление и сдвиг по фазе. Таким образом, для такой амплитуды входного сигнала существует «эквивалентная линейная передаточная функция», для которой амплитуда и фазовый сдвиг выходной реакции по отношению к входному сигналу те же самые, что и для основной гармоники сигнала на выходе нелинейного элемента по отношению к синусоидальному сигналу на его входе. Эта эквивалентная линейная передаточная функция идентична эквивалентному комплексному коэффициенту усиления (описывающей функции), определенной Джонсом [3] как «амплитуда и фазовый угол основной составляющей реакции по отношению к предполагаемому входному синусоидальному сигналу». Конечно, надо помнить, что эквивалентный комплексный коэффициент усиления является функцией амплитуды синусоиды на входе нелинейного элемента, так что при определении величины эквивалентного комплексного коэффициента усиления следует указывать амплитуды входного сигнала.
Сравнение реальной и эквивалентной характеристик некоторого нелинейного элемента, где входным сигналом является косинусоида с амплитудой I, входной сигнал может быть записан следующим образом:
i(t) = ReIe (12)
Реальный выходной сигнал при входном сигнале такого вида является периодическим с тем же периодом, что и период входного сигнала и может быть представлен рядом Фурье
O(t) = O (13)
где O комплексная величина, обладающая модулем и фазой на каждой частоте и задаваемая выражением
O = (14)
Эквивалентный комплексный коэффициент усиления этого элемента равен:
G’(a) = (15)
где функция а зависит от амплитуды и выражается через соответствующие переменные каждой конкретной системы. Величина О может быть вычислена с помощью уравнения (15) и представляет собой основную составляющую реального выходного сигнала.
При использовании понятия эквивалентного комплексного коэффициента усиления для решения нелинейных задач делается еще одно допущение относительно остальной части системы регулирования, кроме основного предположения, которое уже было высказано, о том, что частоты входного и выходного сигналов одинаковы. Это второе предположение заключается в том, что в системе имеются достаточно большие накопители энергии, так что все высокочастотные составляющие выходного сигнала настолько сильно затухают к тому моменту, когда они достигают входа нелинейного элемента, что ими можно пренебречь. Таким образом, условие, что на входе нелинейного элемента присутствует только синусоидальный сигнал с частотой основной гармоники, несмотря на то, что на выходе нелинейного элемента имеются высшие гармоники, удовлетворяется и высшие гармоники выходного сигнала можно просто отбросить. К счастью, в большинстве реальных систем регулирования содержатся накопители энергии достаточной емкости, так что необходимое затухание чаще всего обеспечивается. В работах Кохенбургера и Джонсона [3] рассматриваются специальные примеры, в которых расхождения, вызванные использованием этого метода, не превышают нескольких процентов. Следует отметить, что метод гармонического баланса дает ответ лишь в первом приближении. В связи с этим часто бывает необходимо определить, не приводят ли высшие гармоники к каким-либо затруднениям. Джонсон указал метод, с помощью которого можно получить ответ с более высокой точностью.
Применение метода гармонического баланса рассматривается в следующих примерах, в которых элементы с насыщением и зоной нечувствительности (зазором) описываются с помощью эквивалентных комплексных коэффициентов усиления. Хотя каждый из этих эквивалентных комплексных коэффициентов усиления получен для номинального значения входного сигнала, равного нулю, в системах может случаться, что синусоидальные колебания происходят не относительно номинального значения, равного нулю, а относительно некоторого смещенного значения. В таких случаях выходной сигнал асимметричен и, кроме синусоидальной составляющей, выходной сигнал содержит еще и постоянную составляющую. При этом эквивалентный комплексный коэффициент усиления является функцией не только амплитуды синусоидального колебания, по и номинального рабочего уровня сигнала.
Линейная зависимость между выходным и входным сигналами усилительного устройства механического, электронного, электромагнитного или гидравлического справедлива лишь в ограниченном диапазоне значений входного сигнала. При входных сигналах, больших некоторого предельного значения, выходной сигнал перестает увеличиваться пропорционально входному и эффективное отношение выходной сигнал/входной сигнал уменьшается. Это явление известно под названием насыщения.
Для упрощения анализа явления насыщения предположим, что реальная характеристика элемента в интересующей нас области может быть аппроксимирована «идеальной» симметричной характеристикой насыщения, а +О и -О, где О - значение насыщения выходной величины, приближенно равны значениям выходного сигнала в насыщении при больших положительных и отрицательных значениях входного сигнала. I(предельное значение входного сигнала) представляет собой значение входного сигнала. Таким образом,
I= . (16)
Если на вход усилителя подается сигнал вида: i(t) = Isin ωt, где I> I, то выходной сигнал будет иметь вид для значений i, лежащих в пределах -I< i<I, выходной сигнал о(t) будет пропорционален i(t) с коэффициентом пропорциональности K. Для значений i>I выходной сигнал будет постоянен и равен Определу насыщения О. Аналогично для значений выходной i<-Iвыходной сигнал будет постоянен и равен О. Фазовый угол α, при котором О(t) перестает быть пропорциональным i(t) , равен:
α=arsin(I/I), (17)
где для такого вида насыщения (I/I) = а. Следует отметить, что значение α не зависит от частоты входной синусоиды.
Эквивалентный комплексный коэффициент усиления такого элемента с насыщением может быть представлен в безразмерной форме в виде отношения к его значению в линейной зоне. Это отношение, или коэффициент изменения усиления элемента с насыщением А, может быть выражено в виде:
A= (18)
и представлено в виде функции параметра I/I.
Влияние насыщения заключается в уменьшении фактического коэффициента усиления элемента с насыщением. В связи с тем, что предполагалось, что характеристика элемента не обладает гистерезисом, в выходном сигнале нет сдвига по фазе и единственным результатом насыщения является уменьшение коэффициента усиления.
Заключение. Помимо рассмотренного простейшего «усилительного» типа насыщения, главным результатом которого является изменение усиления элемента, влияние насыщения может проявляться в виде изменения постоянной времени в функции амплитуды сигнала на входе элемента. Несмотря на то, что влияние насыщения на постоянные времени несколько отлично в том смысле, что частоты, на которых возникает неустойчивость, не могут быть определены так же непосредственно, идея и математический аппарат аналогичны рассмотренным выше.
Зона нечувствительности, или зазор, представляет собой другой тип нелинейности, обычно встречающийся в системах регулирования. Для значений входного сигнала I > I/2 зависимость выходного сигнала от входного линейна с коэффициентом пропорциональности, равным:
K = (19)
Типичными примерами элементов, обладающих характеристикой, являются комбинация датчика с усилителем, а также элемент с механическим зазором.
Если синусоидальный входной сигнал i(t) с амплитудой подается на вход элемента с зазором, выходной сигнал, как указывалось выше, будет иметь форму i(t)=Isint. Для +> > - выходной сигнал равен нулю. Для ≥выходной сигнал пропорционален величине - с коэффициентом пропорциональности К.
Эквивалентный комплексный коэффициент усиления элемента с зоной нечувствительности может быть выражен в безразмерной форме через свое значение в зоне линейности:
А= (20)
Сравнивая выражения (20) и (18), можно заметить, что при одинаковом α справедливо равенство
= 1 - А (21)
Так как на величина А отображается в виде функции I/ , то величина также может быть определена , если вместо I/ воспользоваться уравнением и использовать уравнение (21).
Уравнение (21) ценно еще тем, что оно подчеркивает связь насыщения и зоны нечувствительности. Для входных сигналов с малой амплитудой (I) влияние насыщения проявляется в незначительном по сравнению со случаем отсутствия насыщения уменьшении эквивалентного комплексного коэффициента усиления. Напротив влияние зоны нечувствительности для входных сигналов с малой амплитудой заключается в значительном, по сравнению со случаем отсутствия зоны нечувствительности, уменьшении эквивалентного комплексного коэффициента усиления. Наоборот, для входных сигналов с большой амплитудой >>I насыщение существенно уменьшает эквивалентный комплексный коэффициент усиления по сравнению со случаем отсутствия насыщения. И, наконец, влияние зоны нечувствительности в случае входных сигналов большой амплитуды >> проявляется в незначительном изменении эквивалентного комплексного коэффициента усиления, по сравнению со случаем отсутствия зоны нечувствительности.
At designing control systems of the characteristic of specifying influence and controlled process, as well as the requirements to the characteristics of the system are rather constant. In result the law of management in system designed in such assumption, appeared fixed, and value of parameters - constant. In a case, when essentially vary either specifying influences, or the characteristics of process, or requirement to the characteristics of system, there appears desirable is an opportunity to adapt the characteristics in the best way to satisfy with the general(common) requirements to system.
|
1. Ямпольский Л. С., Полищук М. Н. Оптимизация технологических процессов в гибких производственных системах. – К.:Техника, 1988.- 175 с.
2. Gibson J. E., Non-linear automatic control, New York, McGraw-Hill, 1983.
3. Jonson E. C., Sinusoidal analysis of feedback control systems containing non- linear elements, Transactions AIEE, pt. II, vol. 71, p 169-181, 1982.
Ответы на вопросы [_Задать вопроос_]
Читайте также
Моделирование объектов и систем управления
Соколов А.Е., Махова Е.О. Моделирование процесса принятия педагогического решения при компьютеризированном обученииСлавко О.Г. Порівняльний аналіз керування регулятором на основі локальної моделі керованого процесу та П-регулятором
Войтенко В.В., Дикусар Е.В, Ситников В.С. Определение частоты среза устройства сглаживания данных на основе метода скользящего среднего
Передерій В.І. Алгоритм визначення та оцінки характеристик ефективності комп’ютерних систем на початковій стадії проектування в умовах невизначенності
Ляшенко С.А, Ляшенко А.С. Оценка модели псевдолинейной регрессии
Ладієва Л.Р. Математична модель процесу газової мембранної дистиляції
Носов П.С., Косенко Ю.І. Нечіткі моделі і методи ідентифікації та прогнозу стану інформаційної моделі студента
Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы синхронного двигателя с неявнополюсным ротором по данным каталога
Дорошкевич В.К., Пироженко А.В., Хитько А.В., Хорольский П.Г. К определению требований к системам увода космических объектов
Голінко І.М., Ковриго Ю.М., Кубрак А.І. Настройка системи керування за імпульсною характеристикою об’єкта
Яшина К.В., Садовой А.В. Комплексная математическая модель тепловых процессов, происходящих в дуговых электросталеплавильных печах
Шейник С.П., Рудакова А.В. Использование функций принадлежности для моделирования параметров распределенных объектов
Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов электростатического поля
Селяков Е. Б. Моделирование требований к техническим системам методами математической логики
Тодорцев Ю.К., Ларіонова О.С., Бундюк А.М. Математична модель контура теплопостачання когенераційної енергетичної установки
Кириллов О.Л. , Якимчук Г.С. Моделирование процесса управления системой перегрузки углеводородных жидких топлив
Шеховцов А.Н., Козел В.Н. Построение математической модели формирования распределенных систем
Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ поведения генератора постоянного тока по данным каталога
Хомченко А.Н., Козуб Н.О. Задачі наближення функцій: від лагранжевих до серендипових поліномів
Хобин В.А., Титлова О.А. Определение температуры парожидкостной смеси в дефлегматоре АДХМ по результатам измерений температуры его поверхности
Григорова Т.М., Усов А.В. Вероятностно-статистическое моделирование маршрутизированных пассажиропотоков в крупных городах
Горач О.О., Тернова Т.І. Моделювання технологічного процесу одержання трести при використані штучного зволоження з урахуванням складу мікрофлори
Дубік Р.М., Ладієва Л.Р. Математична модель розділення неоднорідних рідких систем
Казак В.М, Лейва Каналес Родриго, Яковицкая Е.Ю. Моделирование динамики полета магистрального самолета на исследовательском стенде
Завальнюк И.П. Исследование процесса торможения автомобиля как критического режима динамической системы
Дмитриев С.А., Попов А.В. Построение портрета неисправностей проточной части газотурбинного двигателя на примере АИ-25
Русанов С.А., Луняка К.В., Клюєв О.І., Глухов Г.М. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з віброкиплячим шаром та розробка систем автоматизованого моделювання гідродинаміки віброкиплячих шарів
Боярчук В.П., Сыс В.Б. Экспериментальные исследования влияния технологии шлихтования на изменение жесткости текстильных нитей
Селін Ю.М. Використовування контекстних марківських моделей для аналізу дії промислових вибухів на будівельні конструкції
Рудакова А.В. Проблемы интеграции сложных систем
Передерій В.І., Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі
Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы принятия релевантных решений пользователями автоматизированных систем с учетом личностных и внешних факторов на базе генетических алгоритмов
Михайловская Т.В., Михалев А.И., Гуда А.И. Исследование правил клеточных автоматов для моделирования процессов затвердевания квазиравновесных бинарных сплавов
Хомченко А.Н., Колесникова Н.В. Явление «сверхсходимости» в задаче Прандтля для уравнения Пуассона
Китаев А.В., Глухова В.И. Анализ работы трансформатора по данным каталога
Квасницкий В.В., Ермолаев Г.В., Матвиенко М. В., Бугаенко Б.В., Квасницкий В.Ф. Оценка применимости метода компьютерного моделирования к исследованию напряженно-деформиррованного состояния цилиндрических узлов
Китаев А.И., Глухова В.И. Анализ работы асинхронного двигателя по данным каталога
Шелестов А.Ю Имитационная модель взаимодействия GRID-узлов с очередью доступа к общей памяти
Chizhenkova R.A. Mathematical Aspects of Bibliometrical Analysis of Neurophysiological Investigations of Action of Non-ionized Radiation (Medline-Internet)
Хомченко А.Н., Козуб Н.А. Геометрическое моделирование дискретных элементов с криволинейными границами
Славич В.П. Модель автоматизованої системи управління потоками транспортних засобів
Маркута О.В., Мысак В.Ф. Программная реализация и исследование особенностей метода группового учета аргументов
Степанкова Г.А., Баклан І.В. Побудова гібридних моделей на основі прихованих марківських моделей та нейронних мереж
Бакшанська Т.Д., Рижиков Ю.Г., Тодорцев Ю.К. Математична модель процесу горіння природного газу з рециркуляцією продуктів згорання для цілей управління
Хомченко А.Н. Новые решения обобщенной задачи Бюффона
Передерий В.И., Еременко А.П. Математические модели и алгоритмы определения релевантности принимаемых решений с учетом психофункциональных характеристик пользователей при управлении автоматизированными динамическими системами
Ложечников В.Ф., Михайленко В.С., Максименко И.Н. Аналитическая много режимная математическая модель динамики газовоздушного тракта барабанного котла средней мощности
Ковриго Ю.М., Фоменко Б.В., Полищук И.А. Математическое моделирование систем автоматического регулирования с учетом ограничений на управление в пакете Matlab
Исаев Е.А., Наговский Д.А. Математическое описание влияния кривизны контактирующих тел на угол смачивания жидкости в межчастичном пространстве
Бідюк П.І., Литвиненко В.І., Кроптя А.В. Аналіз ефективності функціонування мережі Байєса
Тищенко И.А., Лубяный В.З. Математическое моделирование вокодера для определения оптимальной формы импульса сигнала возбуждения.
Николаенко Ю.И., Моисеенко С.В. Моделирование гармонического полиномиального базиса гексагона.
Козуб Н.А., Манойленко Е.С., Хомченко А.Н. Температурный тест для модифицированных базисов бикубической интерполяции.
Клименко А.К. Об упрощенном численном конструировании обратной модели динамического объекта.
Китаев А.В., Сушич Е.Ф. Расчет погрешностей измерительных трансформаторов.
Передерій В.І.,Касап А.М. Математична модель та алгоритм автоматизації розрахунку параметрів комп’ютеризованих систем працюючих у реальному часі
Шпильовий Л.В. Математична модель та алгоритм екстремального управління процесом осадження дисперсної фази суспензії.
Тулученко Г.Я. Інформаційний модуль експрес-пошуку точок еквівалентності процесу нейтралізації.
Тернова Т.І. Урахування морфогенетичного рівняння в математичній моделі тканини.
Попруга А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования электрических нагревателей по критерию экономии энергии.